Cours
Oscillations libres dans un circuit RLC série (Pr Chakir Abdeljalil)
Cours sur les oscillations libres dans un circuit RLC série : décharge d'un condensateur dans une bobine, régimes périodique, pseudopériodique, critique et apériodique, avec activités et connaissances exigibles.
Ce cours de Physique est destiné aux élèves de 2ème Bac (Semestre 1) et s'inscrit dans le chapitre « Oscillations libres dans un circuit RLC série ».
Auteur : Chakir Abdeljalil.
Ce que vous allez apprendre
Ce cours étudie ce qui se passe quand on décharge un condensateur dans une bobine : le circuit RLC série est un oscillateur électrique libre. Vous apprendrez à reconnaître les régimes (pseudopériodique, critique, apériodique), à établir l'équation différentielle de uC(t), à utiliser la période propre T0 et à interpréter les oscillations en termes d'énergie, y compris leur entretien. Le document PDF ci-dessous contient le cours complet ; ce guide en résume la logique et signale les points où les élèves se trompent le plus souvent.
Prérequis
- Le dipôle RC et le dipôle RL : tension aux bornes d'un condensateur (i = C duC/dt) et d'une bobine (uL = L di/dt + r i).
- La loi d'additivité des tensions et les énergies emmagasinées : ξe = ½ C uC² et ξm = ½ L i².
- Dérivées de cos et sin ; lecture d'une période sur un graphique.
Les notions à retenir
| Notion | Formule ou énoncé | Remarque |
|---|---|---|
| Résistance totale | R = r + r' | r : résistance de la bobine, r' : conducteur ohmique (en Ω) |
| Équation différentielle (circuit amorti) | d²uC/dt² + (R/L) duC/dt + uC/(LC) = 0 | Le terme en duC/dt traduit l'amortissement |
| Circuit LC idéal (R = 0) | d²uC/dt² + uC/(LC) = 0 | Solution : uC(t) = Um cos(2πt/T0 + φ) |
| Période propre | T0 = 2π√(LC) | T0 en s, L en H, C en F |
| Conditions initiales (condensateur chargé, i(0) = 0) | Um = E et φ = 0 | Alors q(t) = Qm cos(2πt/T0) et i(t) = −Im sin(2πt/T0), avec Im = C Um/√(LC) |
| Énergie totale (LC) | ξt = ½ C uC² + ½ L i² = ½ C Um² | Constante : conservation de l'énergie |
| Énergie totale (RLC) | dξt/dt = −R i² | L'énergie diminue : perte par effet Joule |
| Entretien des oscillations | uS = R0 i et Rt = R0 | Le dispositif d'entretien fournit l'énergie dissipée par effet Joule |
Les trois régimes
- Pseudopériodique (R faible) : uC oscille avec une amplitude qui décroît ; la pseudo-période T est très proche de T0 et ne dépend pas de R pour de faibles valeurs de R.
- Apériodique (R très grande) : plus aucune oscillation, uC tend lentement vers zéro.
- Critique : régime frontière entre les deux, uC tend rapidement vers zéro sans osciller.
Le cours montre aussi que la pseudo-période augmente quand on augmente L ou C.
Méthodes
- Établir l'équation différentielle. Écrire uL + uR + uC = 0, remplacer i par C duC/dt puis di/dt par C d²uC/dt², et poser R = r + r'.
- Vérifier une solution sinusoïdale. Dériver deux fois uC = Um cos(2πt/T0 + φ), reporter dans l'équation différentielle de l'oscillateur LC et en déduire (2π/T0)² = 1/(LC), donc T0 = 2π√(LC).
- Déterminer les constantes. À t = 0, uC = E et i = 0 : on obtient Um = E et φ = 0.
- Raisonner en énergie. Dériver ξt par rapport au temps et utiliser l'équation différentielle pour montrer que dξt/dt = −R i² ≤ 0.
Exemple de vérification numérique (données du cours)
Le cours donne trois mesures de pseudo-période avec R = 50 Ω. On les compare à T0 = 2π√(LC) :
| L | C | T0 calculée | T mesurée (cours) |
|---|---|---|---|
| 0,05 H | 2 µF | 2π√(1,0 × 10−7) ≈ 1,99 ms | 2 ms |
| 0,16 H | 2 µF | 2π√(3,2 × 10−7) ≈ 3,55 ms | 3,5 ms |
| 0,05 H | 1 µF | 2π√(5,0 × 10−8) ≈ 1,41 ms | 1,4 ms |
L'accord est bon : pour un amortissement faible, T ≈ T0.
Erreurs fréquentes
- Confondre pseudo-période T (régime amorti) et période propre T0 (circuit idéal) : on ne peut écrire T = T0 que si l'énoncé le permet.
- Oublier les unités avant d'appliquer T0 = 2π√(LC) : convertir mH en H et µF en F.
- Affirmer que l'énergie se conserve dans un circuit RLC : elle diminue à cause de l'effet Joule ; elle ne se conserve que dans le circuit LC idéal ou si les oscillations sont entretenues.
- Écrire que i(t) a la même phase que uC(t) : avec uC en cosinus, l'intensité est en sinus (déphasage d'un quart de période).
- Oublier le signe moins dans i(t) = −Im sin(2πt/T0) : il vient de la dérivation i = dq/dt de q(t) = Qm cos(2πt/T0).
À vérifier dans le cours (point de vigilance)
Le PDF indique pour la résistance critique RC = √(L/C). Dans l'étude habituelle du régime critique, la condition obtenue à partir de l'équation différentielle est RC = 2√(L/C). Cette valeur n'est pas exigible numériquement ici, mais en cas de doute demandez à votre professeur quelle expression utiliser.
Liste de révision
- Je sais définir et reconnaître les régimes pseudopériodique, critique et apériodique et tracer l'allure de uC(t).
- Je sais établir l'équation différentielle de uC(t) pour le circuit RLC et pour le circuit LC.
- Je connais T0 = 2π√(LC), sa signification et ses unités, et je sais en déduire uC, q et i.
- Je sais interpréter les régimes en termes d'énergie et expliquer le rôle du dispositif d'entretien.
- Je sais exploiter un oscillogramme pour identifier la tension visualisée, le régime et l'influence de R, L ou C.
Pour vous entraîner, utilisez les séries d'exercices du même chapitre, notamment la série de Chakir Abdeljalil (énoncés sans corrigé) et les recueils corrigés de Sbirou Abdelkrim, disponibles sur le site.