Oscillations libres dans un circuit RLC série — Série (Pr Sbirou) — n°2

Auteur : Sbirou.

Les corrections sont incluses dans le document.

Ce que contient cette série

Ce document de 11 pages (« Série d'exercices corrigés, 2ème année bac : Je prépare mon baccalauréat en électricité », par Sbirou Abdelkrim) propose sept exercices d'électricité. Malgré son titre sur le site, il ne se limite pas aux oscillations libres du circuit RLC : il mêle le dipôle RL, le dipôle RC et le circuit RLC. Les énoncés sont au début, les corrections commencent vers la page 5.

Thèmes des exercices (relevés dans le document)

• Exercice 1 – dipôle RL : générateur de 12 V, conducteur ohmique de 100 Ω et bobine (L, r) ; équation différentielle en i(t), intensité I₀ en régime permanent, rôle d'une diode montée en sens inverse aux bornes de la bobine à l'ouverture de l'interrupteur, constante de temps τ lue sur la courbe i(t), détermination de r et L, énergie emmagasinée dans la bobine.
• Exercice 2 – oscillations amorties : condensateur de 95 µF chargé sous 10 V, bobine de 9,6 mH et conducteur ohmique de 2 Ω ; équation différentielle de u_C(t) avec le coefficient d'amortissement α, solution u_C = U₀ e^−αt cos(2πt/T), relation entre les valeurs de u_C aux instants nT, énergie dissipée par effet Joule sur les trois premières pseudo-périodes.
• Exercice 5 – décharge dans une bobine : courbe q(t) en µC (E = 12 V, C = 1 µF), détermination de L à partir de la pseudo-période (avec π² = 10), équation différentielle de q(t), énergie totale et sa variation, ajout d'un conducteur ohmique de 1 kΩ.
• Exercice 6 : circuit à deux interrupteurs avec un conducteur ohmique de 120 Ω et un condensateur de 1 µF ; exploitation de la courbe u_R(t) et de sa tangente à l'origine, dérivée de l'énergie totale, valeur initiale U₀, énergie dissipée entre deux instants.
• Exercice 7 – charge d'un condensateur : résistance variable, solution u_C = A(1 − e^−αt) de l'équation différentielle, analyse dimensionnelle de α, énergie maximale ½ C E², énergie E_e(t) = E_max(1 − e^−t/τ)², lecture de τ sur la courbe E_e(t), puis étude de deux courbes u_C(t) de résistances différentes.

Comment travailler cette série

1. Cherchez l'exercice sans ouvrir la correction ; commencez par écrire la loi d'additivité des tensions.
2. Comparez ensuite avec la correction et refaites les calculs numériques en notant les unités.
3. Relisez les points de méthode ci-dessous pour les questions que vous avez ratées.

Méthodes utiles

Situation	Méthode
Établissement du courant dans un dipôle RL	L/RT · di/dt + i = E/RT avec RT = R + r ; i(t) = I0 e−t/τ après ouverture ; τ = L/RT
Lecture de τ sur une décroissance exponentielle	i(τ) = 0,37 I0 ; en déduire RT = E/I0, puis r = RT − R et L = τ · RT
Énergie dans une bobine ou un condensateur	ξm = ½ L i² ; ξe = ½ C uC²
Oscillations amorties du circuit RLC	T0 = 2π√(LC) ; si T ≈ T0 alors L = T²/(4π²C) ; dξt/dt = −R i²

Points de vigilance

• Convertissez toujours mA, ms, mH et µF avant de calculer.
• Précisez l'instant d'origine et l'état initial (courant nul ou condensateur chargé) avant d'utiliser une solution de l'équation différentielle.
• Pour les exercices à plusieurs questions, une erreur sur l'équation différentielle se propage : vérifiez-la d'abord.
• Les corrections de ce document sont celles de l'auteur ; si une valeur numérique vous semble douteuse, comparez avec votre professeur.