Chute verticale d'un solide (Pr Chakir Abdeljalil)

Auteur : Chakir Abdeljalil.

Ce que vous allez apprendre

Ce cours (9 pages) étudie le mouvement vertical d'un solide dans le champ de pesanteur uniforme, d'abord en présence d'un fluide (poussée d'Archimède et frottement), puis dans le cas idéal de la chute libre. Vous apprendrez à établir l'équation différentielle de la vitesse, à lire sur une courbe v(t) la vitesse limite, l'accélération initiale et le temps caractéristique, à résoudre l'équation par la méthode d'Euler et à établir les équations horaires de la chute libre.

Prérequis

• Deuxième loi de Newton : ΣF = m a_G et projection sur un axe.
• Dérivée et primitive d'une fonction du temps (v = dz/dt, a = dv/dt).
• Lecture d'une tangente à l'origine et d'une asymptote sur un graphique.

Les notions à retenir

Notion	Expression	Remarque
Poussée d'Archimède	FA = −ρf V g = −mf g	Verticale, vers le haut ; V : volume de fluide déplacé ; ρf : masse volumique du fluide
Frottement fluide	f = −k vn	n = 1 pour les faibles vitesses (k dépend de la viscosité), n = 2 pour les vitesses élevées
Équation différentielle de la vitesse	dv/dt = A − B vn	A = g (m − mf)/m et B = k/m
Vitesse limite (régime permanent)	vl = (A/B)1/n	Obtenue en posant dv/dt = 0 ; dépend des masses volumiques de la bille et du liquide
Accélération initiale (v0 = 0)	a0 = A = g (m − mf)/m	Pente de la tangente à l'origine
Temps caractéristique	τ = vl/a0	Abscisse du point où l'asymptote coupe la tangente à l'origine
Méthode d'Euler	ai = A − B vin puis vi+1 = vi + ai Δt	Méthode itérative : il faut connaître la vitesse initiale v0
Chute libre (poids seul)	a = g ; v = g t + v0 ; z = ½ g t² + v0 t + z0	Mouvement rectiligne uniformément varié (axe orienté vers le bas dans le cours)

Méthodes

1. Établir l'équation différentielle. Système : la bille ; référentiel terrestre supposé galiléen ; bilan des forces (poids, poussée d'Archimède, frottement) ; deuxième loi de Newton ; projection sur l'axe vertical ; division par m.
2. Lire les grandeurs caractéristiques. v_l : ordonnée de l'asymptote ; a₀ : pente de la tangente à t = 0 ; τ : abscisse de l'intersection de la tangente et de l'asymptote.
3. Appliquer la méthode d'Euler. Calculer a₀ à partir de v₀, puis v₁ = v₀ + a₀ Δt, puis a₁, et ainsi de suite. Le pas Δt doit être petit devant le temps caractéristique : un pas trop grand donne des résultats aberrants, un pas trop petit multiplie les calculs.
4. Établir les équations horaires de la chute libre. a = g, puis intégrer pour obtenir v = g t + v₀, puis z = ½ g t² + v₀ t + z₀, et déterminer les constantes avec les conditions initiales.

Exemple : lecture de la courbe du cours (bille dans un liquide)

Sur le graphe v(t) du cours, la vitesse limite vaut v_l = 0,59 m/s. La tangente à l'origine passe par le point (0,04 s ; 0,3 m/s), d'où a₀ = 0,3/0,04 = 7,5 m/s². Le temps caractéristique est alors τ = v_l/a₀ = 0,59/7,5 ≈ 0,079 s, soit environ 0,08 s, ce qui correspond à la lecture graphique du cours.

Erreurs fréquentes

• Oublier la poussée d'Archimède quand l'énoncé ne dit pas de la négliger : l'accélération initiale vaut alors g (m − m_f)/m et non g.
• Se tromper de signe selon l'orientation de l'axe : vérifier que le poids et le frottement sont projetés avec les bons signes.
• Confondre vitesse limite (dv/dt = 0) et vitesse initiale.
• Appliquer Euler avec un pas Δt comparable à τ ou dans l'ordre inverse (calculer v_i+1 avant a_i).
• Appeler « chute libre » une chute avec frottement ou poussée d'Archimède non négligeables : la chute libre ne subit que le poids.

Points de vigilance dans le PDF

• Le tableau de mesures de la chute libre donne z = 39,9 m à t = 2,8 s, alors que ½ g t² = ½ × 10 × 2,8² = 39,2 m avec g = 10 m/s² : la valeur du tableau est sans doute une faute de frappe.
• La définition de la poussée d'Archimède parle d'un solide « émergé » ; il faut comprendre « immergé » (plongé dans le fluide).
• La valeur du pas de calcul Δt donnée par défaut n'est pas lisible dans le PDF ; suivez toujours la valeur indiquée dans l'énoncé de l'exercice.

Liste de révision

• Je sais énoncer les caractéristiques de la poussée d'Archimède et du frottement fluide.
• Je sais établir dv/dt = A − B vⁿ et exprimer v_l, a₀ et τ.
• Je sais lire v_l, a₀ et τ sur une courbe et distinguer régime transitoire et régime permanent.
• Je sais appliquer la méthode d'Euler et justifier le choix du pas.
• Je sais définir la chute libre et établir ses équations horaires.

Pour vous entraîner, voyez les séries d'exercices du même chapitre, notamment celles de Khiya Zakaria et de Jawad (énoncés sans corrigé) disponibles sur le site.