Dipôle RL (Pr Chakir Abdeljalil)

Auteur : Chakir Abdeljalil.

Ce que vous allez apprendre

Ce cours de 2ème Bac Sciences Physiques (Semestre 1) (11 pages) étudie le dipôle RL : un conducteur ohmique de résistance R associé en série avec une bobine d'inductance L et de résistance interne r. À la fin du chapitre, vous devez savoir :

• représenter une bobine, orienter un circuit en convention récepteur et connaître l'expression de la tension à ses bornes ;
• établir et résoudre l'équation différentielle de l'intensité d'un dipôle RL soumis à un échelon de tension, puis en déduire les tensions ;
• exprimer la constante de temps τ, vérifier son unité par analyse dimensionnelle et la déterminer sur une courbe ;
• savoir qu'une bobine s'oppose aux variations du courant : l'intensité ne subit jamais de discontinuité ;
• exprimer l'énergie emmagasinée dans une bobine ;
• exploiter un oscillogramme pour identifier les tensions et mesurer une constante de temps.

Prérequis

• Loi d'Ohm et loi d'additivité des tensions ; convention récepteur.
• Équation différentielle du premier ordre et fonction exponentielle (voir le dipôle RC).
• Régime transitoire et régime permanent.

Formules à retenir

Situation	Relation	Signification et unités
Tension aux bornes d'une bobine	uL = L·di/dt + r·i	L : inductance en henrys (H) ; r : résistance interne en ohms (Ω). En courant continu, la bobine se comporte comme un conducteur ohmique de résistance r. Si r est négligeable, uL = L·di/dt.
Constante de temps	τ = L/Rt avec Rt = R + r	En secondes (H/Ω = s). C'est un indicateur de la durée du régime transitoire.
Établissement du courant (échelon montant E)	τ·di/dt + i = E/Rt ; i(t) = (E/Rt)·(1 − e−t/τ)	Régime permanent : I0 = E/Rt. À t = τ, i ≈ 0,63·I0. Tension aux bornes du conducteur ohmique : uR = R·i = uR max(1 − e−t/τ).
Tension de la bobine à l'établissement	uL = (r·E/Rt)(1 − e−t/τ) + E·e−t/τ	Quand r ≪ R, uL ≈ E·e−t/τ : la bobine reçoit toute la tension à t = 0 puis sa tension s'annule.
Rupture du courant (échelon descendant)	τ·di/dt + i = 0 ; i(t) = (E/Rt)·e−t/τ	uR = uR max·e−t/τ ; uL = −uR, donc négative.
Énergie emmagasinée	Em = ½·L·i2	Énergie magnétique en joules (J), avec L en H et i en A.

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle de l'intensité

1. Écrivez la loi d'additivité des tensions : E = u_R + u_L = R·i + r·i + L·di/dt.
2. Regroupez : E = R_t·i + L·di/dt, puis divisez par R_t pour obtenir τ·di/dt + i = E/R_t.
3. Cherchez une solution de la forme i = A·e^−mt + B : on trouve m = 1/τ et B = E/R_t ; la condition initiale i(0) = 0 (l'intensité est continue dans une bobine) donne A = −B.

Déterminer τ sur une courbe

• Point à 63 % : lire l'abscisse du point de la courbe d'ordonnée 0,63·I₀.
• Tangente : la tangente à l'origine coupe l'asymptote i = I₀ en t = τ.

Exemple du cours : retrouver l'inductance avec un oscilloscope

Sur l'intervalle étudié, l'intensité décroît linéairement : di/dt = −2 A·s⁻¹, et la tension mesurée aux bornes de la bobine vaut u_L = −0,2 V. Comme u_L = L·di/dt (résistance interne négligeable), L = (−0,2)/(−2) = 0,1 H.

Expériences à savoir décrire

• Deux lampes identiques, l'une en série avec une bobine : la lampe de la branche de la bobine s'allume après l'autre mais finit par briller autant ; la bobine retarde l'établissement et la rupture du courant.
• Moteur et diode : à l'ouverture de l'interrupteur, le moteur continue de tourner : la bobine a emmagasiné de l'énergie pendant que le courant circulait, puis la restitue comme un générateur provisoire.

Erreurs fréquentes

• Oublier la résistance interne r de la bobine dans R_t, donc dans τ et dans I₀.
• Écrire τ = L·R au lieu de L/R ; oublier de convertir les mH en H.
• Croire que l'intensité peut sauter dans une bobine : c'est la tension u_L qui peut être discontinue, pas i.
• Se tromper de signe pour u_L à la rupture du courant : elle est négative.
• Confondre l'énergie E_m de la bobine et la tension E du générateur.

Checklist de révision

• Je sais écrire u_L avec et sans résistance interne.
• Je sais établir l'équation différentielle de i(t) et vérifier sa solution.
• Je sais vérifier que τ = L/R_t s'exprime en secondes.
• Je sais déterminer τ par deux méthodes graphiques.
• Je sais calculer l'énergie emmagasinée dans une bobine.

Cette page est une synthèse rédigée à partir du cours de Chakir Abdeljalil ; le document complet reste le PDF joint.