Dipôle RC (Pr Chakir Abdeljalil)

Auteur : Chakir Abdeljalil.

Ce que vous allez apprendre

Ce cours de 2ème Bac Sciences Physiques (Semestre 1) étudie le dipôle RC : un conducteur ohmique de résistance R associé en série avec un condensateur de capacité C. À la fin du chapitre, vous devez savoir :

• représenter un condensateur, orienter un circuit en convention récepteur et indiquer les charges des armatures ;
• utiliser les relations charge–intensité et charge–tension d'un condensateur ;
• établir et résoudre l'équation différentielle de la charge et de la décharge d'un condensateur soumis à un échelon de tension ;
• exprimer et déterminer la constante de temps τ, et vérifier son unité par analyse dimensionnelle ;
• exprimer l'énergie emmagasinée dans un condensateur ;
• exploiter des courbes expérimentales : tensions observées, influence de R et de C sur la charge et la décharge.

Prérequis

• Loi d'Ohm et loi d'additivité des tensions.
• Intensité du courant : débit de charges, i = dq/dt.
• Dérivée d'une fonction exponentielle et équation différentielle du premier ordre.

Formules à retenir

Situation	Relation	Signification et unités
Condensateur	q = C·uC et i = dq/dt = C·duC/dt	q : charge de l'armature positive (coulomb, C) ; C : capacité (farad, F) ; uC : tension (volt, V) ; i : intensité (ampère, A), en convention récepteur.
Association en série	1/C = 1/C1 + 1/C2	La capacité équivalente est plus petite que chacune des capacités.
Association en dérivation	C = C1 + C2	La capacité équivalente est plus grande que chacune des capacités.
Constante de temps	τ = R·C	En secondes (Ω × F = s).
Charge sous un échelon montant E	τ·duC/dt + uC = E, solution uC(t) = E(1 − e−t/τ)	À t = τ, uC ≈ 0,63·E. Courant : i(t) = (E/R)·e−t/τ.
Décharge (échelon descendant)	τ·duC/dt + uC = 0, solution uC(t) = E·e−t/τ	Courant : i(t) = −(E/R)·e−t/τ, négatif car il circule en sens inverse du sens choisi à la charge.
Énergie emmagasinée	Ee = ½·C·uC2 = q2/(2C)	En joules (J), avec C en F, uC en V, q en C. Ne pas confondre Ee (énergie) et E (tension de l'échelon).

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle de la charge

1. Loi d'additivité des tensions : u_R + u_C = E.
2. Loi d'Ohm : u_R = R·i, avec i = C·du_C/dt.
3. On obtient R·C·du_C/dt + u_C = E, soit avec τ = R·C : τ·du_C/dt + u_C = E.
4. On cherche une solution de la forme u_C = A·e^−m·t + B, on remplace dans l'équation pour trouver m = 1/τ et B = E, puis la condition initiale u_C(0) = 0 (la tension d'un condensateur est toujours continue) donne A = −E.

Déterminer τ graphiquement

• Méthode du 63 % : lire l'abscisse du point de la courbe de charge d'ordonnée 0,63·E.
• Méthode de la tangente : la tangente à la courbe à t = 0 coupe l'asymptote u_C = E au point d'abscisse t = τ.
• Pour la décharge, τ est l'abscisse du point d'ordonnée 0,37·E (soit E/e).

Exemple du cours : trouver la capacité à courant constant

Un condensateur initialement déchargé est chargé par un générateur de courant constant I₀ = 80 µA. Le tableau donne u_C = 0,85 V à t = 5 s. La charge accumulée est q = I₀·t = 80 µA × 5 s = 400 µC. La capacité vaut donc C = q/u_C = 400 µC / 0,85 V ≈ 4,7·10² µF, soit 470 µF, valeur indiquée sur le schéma du cours. Le graphe q = f(u_C) est une droite passant par l'origine dont le coefficient directeur est C.

Erreurs fréquentes

• Oublier que la tension aux bornes d'un condensateur est continue : u_C ne saute jamais, alors que l'intensité peut changer brutalement.
• Se tromper de signe pour i : à la décharge, i est négatif dans le sens choisi à la charge.
• Confondre le point à 63 % (charge) et le point à 37 % (décharge) pour lire τ.
• Oublier de convertir µF, mF ou kΩ en unités du système international avant de calculer τ.
• Confondre E (tension) et l'énergie emmagasinée E_e.

Checklist de révision

• Je connais le symbole du condensateur et je sais orienter un circuit en convention récepteur.
• Je sais écrire q = C·u_C et i = dq/dt.
• Je sais établir l'équation différentielle de la charge et de la décharge.
• Je sais vérifier que τ = R·C s'exprime en secondes.
• Je sais déterminer τ par deux méthodes graphiques.
• Je sais calculer l'énergie emmagasinée par un condensateur.

Comment utiliser ce cours

Lisez le PDF joint (14 pages) en refaisant les démonstrations, notamment la résolution de l'équation différentielle et le calcul de τ. Entraînez-vous ensuite avec une série d'exercices sur le dipôle RC. Les explications de cette page sont une synthèse rédigée à partir du cours de Chakir Abdeljalil ; le document complet reste le PDF.

Fiche pédagogique du même auteur

Pour voir comment cette leçon est organisée en séance (compétences visées, prérequis, plan et évaluation), consultez la fiche pédagogique « Dipôle RC » (Pr Chakir Abdeljalil).