Chute verticale d'un solide — Série (Pr Khiya)

Auteur : Khiya.

Ce que contient cette série

La « Série n°10 / 2BAC-F » du professeur Khiya Zakaria (année 2023/2024, 2 pages) propose sept exercices sur le chapitre « Chute verticale d'un solide ». Le document ne contient que les énoncés : il n'y a pas de corrigé dans ce PDF. Cherchez chaque exercice seul, puis vérifiez avec votre cours ou votre professeur. Plusieurs questions s'appuient sur des figures (courbes et schémas) à lire avec soin.

Thèmes des exercices

• Chute libre d'une boule (m = 7 kg, abandonnée sans vitesse initiale d'une hauteur h = 1,8 m, g = 10 m/s²) : équation différentielle de z_G par la deuxième loi de Newton, nature du mouvement, vitesse à l'arrivée au sol.
• Balle lancée verticalement vers le haut depuis un point A situé à 1,2 m du sol : équation différentielle de V_z, équation horaire z = −½ g t² + V₀ t + h, expression numérique de V_z(t) lue sur la courbe, hauteur D d'un point B où la vitesse vaut 3 m/s, puis nouveau lancer à 8 m/s : le point B est-il atteint ?
• Boule lancée vers le haut à 6 m/s depuis l'origine : équation différentielle, nature du mouvement, équations horaires, ordonnée maximale, vitesse au retour à la position initiale.
• Parachutiste (m = 100 kg) avec frottement f = −K v : équation différentielle de la vitesse, vitesse limite, g et K lus sur la courbe de l'accélération en fonction de la vitesse, premiers pas de la méthode d'Euler (pas de 0,6 s).
• Parachutiste en deux phases : chute avec frottement linéaire, puis ouverture du parachute après 4 s avec un frottement f = −α v² ; équation dv/dt + (α/m) v² = g, vitesse limite, valeur de α lue sur la courbe, distance parcourue pendant le régime initial, tableau à compléter par la méthode d'Euler.
• Corps de 4 g lancé vers le bas avec frottement f = −K v : équation différentielle vérifiée par le frottement, unité de K par analyse dimensionnelle, K, τ et v_l lus sur la courbe.
• Parachutiste, courbe a(v) : forme dv/dt = A v + B, détermination graphique de g, de v_l et de K.

Rappels utiles (d'après le cours du chapitre)

Situation	Relations
Chute libre (poids seul), axe Oz orienté vers le haut	d²z/dt² = −g ; vz = −g t + V0 ; z = −½ g t² + V0 t + z0
Lancer vers le haut	Le sommet est atteint quand vz = 0, soit t = V0/g ; la hauteur maximale vaut alors z0 + V0²/(2g)
Frottement f = −K v (chute vers le bas)	dv/dt = g − (K/m) v ; vl = m g/K ; τ = m/K
Frottement f = −α v²	dv/dt = g − (α/m) v² ; vl = √(m g/α)
Courbe a(v) linéaire	a = A v + B : l'ordonnée à l'origine donne B (souvent g), l'abscisse où a s'annule donne vl, et la pente donne A
Méthode d'Euler	ai = f(vi) puis vi+1 = vi + ai Δt

Conseils de méthode

• Commencez toujours par écrire le système, le référentiel (galiléen) et le bilan des forces, puis projetez la deuxième loi de Newton en précisant l'orientation de l'axe.
• Dans une chute libre, la masse n'intervient pas : a = g quelle que soit m.
• Regardez l'orientation de l'axe : le premier exercice demande d²z_G/dt² = g (et non −g), ce qui suppose un axe orienté vers le bas ; les exercices de lancer vers le haut utilisent un axe orienté vers le haut.
• Sur une courbe a(v), lisez les points d'intersection avec les axes avant de calculer ; ils donnent directement g (ou une constante) et la vitesse limite.
• Pour Euler, calculez d'abord l'accélération à partir de la vitesse connue, puis seulement la vitesse suivante, et recopiez le tableau ligne par ligne.

Erreurs fréquentes

• Oublier le signe moins du poids quand l'axe est orienté vers le haut.
• Confondre vitesse limite (a = 0) et vitesse initiale.
• Utiliser le frottement linéaire dans l'exercice où le frottement est en v², ou l'inverse.
• Oublier de changer l'origine des dates quand l'énoncé le demande (deuxième lancer, ouverture du parachute).

Points à vérifier dans le document

Dans l'exercice du corps de 4 g, l'énoncé parle de « l'accélération df/dt en fonction de la vitesse f » ; il s'agit probablement d'un défaut de rédaction (la courbe représente df/dt en fonction de f). Les exercices de cette série ne sont pas corrigés dans le PDF : en cas de doute sur un énoncé, demandez confirmation à votre professeur.

Pour revoir les définitions, consultez le cours « Chute verticale d'un solide » de Chakir Abdeljalil sur ce site.